Comprendre les dérivées de fonctions : Taux de variation, tangente et tableau de variations (1ère)

La dérivation est l'une des notions fondamentales de la classe de Première spécialité Mathématiques. Elle ouvre la porte au calcul différentiel — un outil puissant qui permet d'analyser précisément le comportement d'une fonction : là où elle croît ou décroît, là où elle atteint un maximum ou un minimum, et quelle droite frôle sa courbe en chaque point. Maîtriser les dérivées, c'est aussi se donner les bases indispensables pour la Terminale (intégration, logarithme, exponentielle) et pour toutes les études scientifiques supérieures.

Ce guide présente, de façon progressive et illustrée, toute la méthodologie du cours de dérivation en 1ère : du taux de variation au nombre dérivé, de la tangente aux dérivées des fonctions usuelles, jusqu'à la construction complète d'un tableau de variations. Si vous hésitez encore sur votre orientation et la pertinence de cette spécialité pour votre profil, consultez notre guide sur comment choisir ses spécialités en Première.

1. Le taux de variation — la pente de la sécante

Avant d'aborder la dérivée, il faut comprendre le taux de variation, qui en est la pierre angulaire. Soit une fonction f définie sur un intervalle. Le taux de variation de f entre les points d'abscisses a et b (avec b ≠ a) est :

Géométriquement, le taux de variation est exactement la pente de la droite sécante passant par les points A(a ; f(a)) et B(b ; f(b)) sur la courbe représentative de f. Si le taux est positif, f croît entre ces deux abscisses ; s'il est négatif, f décroît.

Exemple numérique

Soit f(x) = x². Calculons le taux de variation entre a = 1 et b = 3 :

τ(1, 3) = (f(3) − f(1)) / (3 − 1) = (9 − 1) / 2 = 4

La pente de la sécante joignant (1 ; 1) et (3 ; 9) sur la parabole vaut 4.

2. Du taux de variation au nombre dérivé

L'idée centrale du calcul différentiel est de faire tendre h vers 0, c'est-à-dire de rapprocher B de A sur la courbe jusqu'à ce que la sécante devienne une tangente. Quand cette limite existe, on l'appelle le nombre dérivé de f en a, noté f'(a) :

Reprenons l'exemple f(x) = x² et calculons par la définition :

(f(a+h) − f(a)) / h = ((a+h)² − a²) / h = (2ah + h²) / h = 2a + h

Quand h → 0 : f'(a) = 2a. La fonction dérivée de x² est donc f'(x) = 2x.

3. La tangente à la courbe en un point

Le nombre dérivé f'(a) est la pente de la droite tangente à la courbe de f au point d'abscisse a. On en déduit immédiatement son équation :

Exemple complet

Déterminons l'équation de la tangente à la courbe de f(x) = x² au point d'abscisse a = 1 :

• f(1) = 1 → le point de tangence est (1 ; 1)
• f'(x) = 2x → f'(1) = 2 → la pente de la tangente est 2
• Équation : y = 2(x − 1) + 1 = 2x − 1

La droite d'équation y = 2x − 1 est tangente à la parabole y = x² au point (1 ; 1).

4. Les dérivées des fonctions usuelles

En pratique, on ne recalcule jamais une dérivée à partir de la définition par limite — on utilise les formules des dérivées des fonctions usuelles, à connaître absolument par cœur :

La dérivée de xⁿ mérite une attention particulière : elle fonctionne pour tous les exposants rationnels. Par exemple, √x = x^1/2 → (x^1/2)' = (1/2)x^−1/2 = 1/(2√x), ce qui confirme la ligne du tableau. Même logique pour 1/x = x⁻¹ → (x⁻¹)' = −1 · x⁻² = −1/x².

5. Les opérations sur les dérivées

Les fonctions que l'on rencontre dans les exercices sont rarement « usuelles » seules — elles sont des combinaisons de fonctions usuelles. Voici les règles d'opérations :

6. Construire le tableau de variations

Le tableau de variations est la synthèse graphique du comportement d'une fonction. Il se construit entièrement à partir du signe de la fonction dérivée f' :

Méthode en 4 étapes — Exemple complet

Étudions les variations de f(x) = x³ − 3x² + 2 sur ℝ.

Étape 1 — Calculer f'(x) :

f'(x) = 3x2 − 6x = 3x(x − 2)

Étape 2 — Trouver les zéros de f'(x) :

f'(x) = 0 ⟺ 3x(x − 2) = 0 ⟺ x = 0 ou x = 2

Étape 3 — Déterminer le signe de f'(x) :

f'(x) = 3x(x − 2) est un trinôme de coefficient dominant positif (3 > 0), donc :

• f'(x) > 0 pour x < 0 (deux facteurs négatifs → produit positif)
• f'(x) < 0 pour 0 < x < 2 (un facteur positif, un négatif → produit négatif)
• f'(x) > 0 pour x > 2 (deux facteurs positifs → produit positif)

Étape 4 — Dresser le tableau de variations et lire les extrema :

On calcule les valeurs aux extrema : f(0) = 0 − 0 + 2 = 2 (maximum local) et f(2) = 8 − 12 + 2 = −2 (minimum local).

Exercice type bac — Méthode pas à pas

Voici un exercice représentatif des exercices de spécialité Mathématiques en 1ère :

Énoncé : Soit f(x) = 2x³ − 9x² + 12x − 4 définie sur ℝ.
1. Calculer f'(x). 2. Résoudre f'(x) = 0. 3. Dresser le tableau de variations. 4. Déterminer les extrema locaux.

Correction détaillée :

1. f'(x) = 6x2 − 18x + 12 = 6(x2 − 3x + 2) = 6(x − 1)(x − 2)
2. f'(x) = 0 ⟺ x = 1 ou x = 2
3. f' > 0 sur ]−∞ ; 1[, f' < 0 sur ]1 ; 2[, f' > 0 sur ]2 ; +∞[ → f croît, décroît, croît.
4. f(1) = 2 − 9 + 12 − 4 = 1 → maximum local en x = 1
   f(2) = 16 − 36 + 24 − 4 = 0 → minimum local en x = 2

Ce type d'exercice est identique dans sa structure à l'étude des probabilités conditionnelles ou des suites — une méthode rigoureuse en étapes numérotées garantit les points. Entraînez-vous aussi sur nos probabilités conditionnelles et arbres pondérés, autre chapitre clé de la spécialité 1ère.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre nombre dérivé et fonction dérivée ?

Le nombre dérivé f'(a) est un nombre réel : c'est la pente de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a. La fonction dérivée f' est une nouvelle fonction qui associe à chaque x le nombre f'(x). Pour f(x) = x³, la fonction dérivée est f'(x) = 3x², et le nombre dérivé en a = 2 est f'(2) = 12. Ce sont deux objets mathématiques distincts.

Une fonction peut-elle ne pas être dérivable en un point ?

Oui. Une fonction n'est pas dérivable en un point si la limite du taux de variation n'existe pas ou est infinie. C'est le cas aux points anguleux — comme x = 0 pour f(x) = |x|, où la courbe change brusquement de direction et où il n'y a pas de tangente unique — et aux points de rebroussement où la tangente serait verticale. Graphiquement, un point anguleux se reconnaît immédiatement à l'absence de direction bien définie de la courbe.

Comment mémoriser efficacement toutes les formules de dérivées ?

La clé est la pratique répétée plutôt que la mémorisation pure. Faites au minimum 15 à 20 exercices de calcul de dérivées (sommes, produits, quotients) avant chaque contrôle. Les dérivées usuelles (xⁿ, e^x, sin, cos, √x) viennent naturellement avec l'entraînement. Organisez-les en fiches récapitulatives — notre guide sur les fiches de révision efficaces sur bristol vous explique comment structurer ces mémos visuels pour le bac.

Les dérivées sont-elles aussi au programme de Terminale ?

Oui — et de façon encore plus approfondie. En Terminale spécialité Mathématiques, les dérivées servent à étudier les fonctions logarithme, exponentielle, à calculer des limites via la règle de l'Hôpital, et dans les chapitres de suites et d'optimisation. Le cours de 1ère sur les dérivées est donc un investissement pour toute la lycée scientifique. Plus en amont, comprendre les bases géométriques — comme le théorème de Pythagore abordé au collège — permet de visualiser plus facilement les courbes et tangentes.

Source : Ministère de l'Éducation nationale — Programme officiel de la spécialité Mathématiques en classe de Première générale (Bulletin Officiel spécial n°1 du 22 janvier 2019).