Les nombres relatifs constituent l'une des premières grandes révolutions mathématiques du collège. Habitués aux seuls nombres positifs depuis l'école primaire, les élèves de 5ème doivent soudainement accepter l'existence de nombres en dessous de zéro, apprendre à les placer, à les comparer et à les faire fonctionner dans des calculs. Ce cours couvre l'intégralité du programme officiel de 5ème, avec les règles précises, des exemples concrets et les pièges à éviter.
Qu'est-ce qu'un nombre relatif ?
Un nombre relatif est un nombre qui possède un signe (+ ou −) et une valeur. Tous les nombres que vous connaissiez jusqu'en CM2 étaient des nombres positifs. Les nombres relatifs étendent cet ensemble vers la gauche de zéro.
- Nombre positif : +5, +12, +0,7 (le + est souvent omis, on écrit juste 5)
- Nombre négatif : −3, −8, −0,5 (le − est obligatoire)
- Zéro : ni positif ni négatif — il est le centre de la droite graduée
Les contextes qui donnent du sens aux nombres négatifs
| Contexte | Zéro représente | Positif | Négatif |
|---|---|---|---|
| 🌡️ Température | 0 °C | Degrés au-dessus (chaleur) | Degrés en dessous (gel) |
| 🏢 Ascenseur | Rez-de-chaussée | Étages (+1, +2…) | Sous-sols (−1, −2…) |
| 💰 Finances | Solde nul | Gains, crédit | Dettes, débit |
| 🏔️ Altitude | Niveau de la mer | Montagne, colline | Fond de mer, vallée |
La droite graduée et la distance à zéro
La droite graduée est l'outil de référence pour représenter les nombres relatifs. Elle est orientée : les nombres augmentent de gauche à droite.
← ··· −5 −4 −3 −2 −1 0 +1 +2 +3 +4 +5 ··· →
Sur cette droite :
- Plus on va à gauche, plus le nombre est petit
- Plus on va à droite, plus le nombre est grand
La distance à zéro (ou valeur absolue)
La distance à zéro d'un nombre relatif est la distance entre ce nombre et l'origine (le zéro) sur la droite graduée. Elle est toujours positive ou nulle.
- Distance à zéro de +5 = 5 (le point +5 est à 5 unités de 0)
- Distance à zéro de −5 = 5 (le point −5 est aussi à 5 unités de 0)
- Distance à zéro de 0 = 0
Comparer des nombres relatifs
La règle de comparaison sur la droite graduée : le nombre le plus à gauche est le plus petit.
| Comparaison | Vrai ou faux ? | Explication |
|---|---|---|
| −8 < −2 | ✅ Vrai | −8 est plus à gauche que −2 sur la droite |
| −3 > −10 | ✅ Vrai | −3 est plus à droite que −10 |
| 0 > −1 | ✅ Vrai | 0 est à droite de tous les négatifs |
| −2 > +1 | ❌ Faux | Tout négatif est plus petit que tout positif |
Addition de deux nombres relatifs
La règle d'addition dépend des signes des deux nombres :
Cas 1 — Même signe : additionner les distances, conserver le signe
| Calcul | Méthode | Résultat |
|---|---|---|
| (+7) + (+3) | Même signe + : 7 + 3 = 10, signe + | +10 |
| (−5) + (−4) | Même signe − : 5 + 4 = 9, signe − | −9 |
| (−7,2) + (−5,5) | Même signe − : 7,2 + 5,5 = 12,7, signe − | −12,7 |
Cas 2 — Signes contraires : soustraire les distances, signe du plus éloigné de zéro
| Calcul | Méthode | Résultat |
|---|---|---|
| (+8) + (−3) | Signes contraires : 8 − 3 = 5, signe de +8 (plus éloigné) | +5 |
| (−9) + (+4) | Signes contraires : 9 − 4 = 5, signe de −9 (plus éloigné) | −5 |
| (+4,1) + (−2,6) | Signes contraires : 4,1 − 2,6 = 1,5, signe de +4,1 | +1,5 |
Soustraction de nombres relatifs
La soustraction est la règle qui génère le plus d'erreurs. La méthode officielle est simple et absolue :
Soustraire un nombre = Ajouter son opposé
On transforme systématiquement toute soustraction en addition, puis on applique les règles de l'addition.
| Soustraction initiale | Transformation | Résultat |
|---|---|---|
| (+3) − (−2) | (+3) + (+2) = ? Même signe : 3 + 2 = 5, signe + | +5 |
| (−7) − (+3) | (−7) + (−3) = ? Même signe − : 7 + 3 = 10, signe − | −10 |
| (−4) − (−6) | (−4) + (+6) = ? Signes contraires : 6 − 4 = 2, signe de +6 | +2 |
| (+5) − (+9) | (+5) + (−9) = ? Signes contraires : 9 − 5 = 4, signe de −9 | −4 |
Multiplication et division : la règle des signes
Pour la multiplication et la division de nombres relatifs, on utilise la règle des signes. La valeur du résultat se calcule normalement ; seul le signe est déterminé par cette règle.
| Signes des deux nombres | Signe du résultat | Exemple (multiplication) | Exemple (division) |
|---|---|---|---|
| (+) × (+) | ✅ Positif (+) | (+6) × (+4) = +24 | (+12) ÷ (+3) = +4 |
| (−) × (−) | ✅ Positif (+) | (−9) × (−7) = +63 | (−56) ÷ (−8) = +7 |
| (+) × (−) | ❌ Négatif (−) | (+5) × (−3) = −15 | (+24) ÷ (−6) = −4 |
| (−) × (+) | ❌ Négatif (−) | (−7) × (+8) = −56 | (−36) ÷ (+9) = −4 |
• Deux amis qui s'accordent (+×+) → accord positif ✅
• Deux ennemis qui se combattent (−×−) → ils s'annulent et c'est positif ✅
• Un ami et un ennemi (+×−) → désaccord négatif ❌
Plus simplement : signes identiques = résultat positif ; signes différents = résultat négatif.
• (−3) × (−5) = +15 ✅ (multiplication : signes identiques → positif)
• (−3) + (−5) = −8 ✅ (addition : même signe → on additionne les distances et on conserve le signe −)
Ne jamais écrire (−3) + (−5) = +8. C'est l'erreur la plus répandue en 5ème.
Simplifier les écritures et priorités opératoires
En 5ème, les élèves apprennent aussi à simplifier les expressions pour les rendre plus lisibles :
Supprimer les parenthèses et les + inutiles
| Écriture initiale | Écriture simplifiée | Règle appliquée |
|---|---|---|
| (+5) + (+3) | 5 + 3 | Le + des positifs et les parenthèses s'omettent |
| (+8) + (−3) | 8 − 3 | Ajouter un négatif = soustraire sa valeur |
| (+4) − (−2) | 4 + 2 | Soustraire un négatif = ajouter sa valeur |
| (−7) + (−5) | −7 − 5 | Ajouter un négatif = soustraire sa valeur |
Priorités opératoires (inchangées)
Les règles de priorité que vous connaissiez restent identiques :
- Ce qui est entre parenthèses en premier
- Multiplications et divisions avant additions et soustractions
- De gauche à droite si même priorité
Exemple complet : Calculer (−3) × 4 + (−2) × (−5)
- On effectue d'abord les multiplications : (−3) × 4 = −12 et (−2) × (−5) = +10
- Puis l'addition : (−12) + (+10) = −2
Résultat : −2
Les erreurs les plus fréquentes et comment les corriger
(−4) + (−3) ≠ +7. La règle des signes ne concerne que × et ÷. Pour une addition à signes identiques, on additionne les valeurs et on conserve le signe : (−4) + (−3) = −7.
Erreur 2 — Comparer les négatifs comme des positifs.
−8 n'est pas plus grand que −2. Sur la droite graduée, −8 est plus à gauche → plus petit. Astuce : utiliser le thermomètre ou la droite graduée à chaque fois qu'il faut comparer des négatifs.
Erreur 3 — Oublier de transformer la soustraction en addition.
Pour (+5) − (−3), on ne « double pas le moins » sans réfléchir. On applique la règle : soustraire (−3) = ajouter son opposé = ajouter (+3). Donc (+5) − (−3) = (+5) + (+3) = +8.
Erreur 4 — Confondre le signe du nombre et l'opération.
Dans l'expression 7 − (−3), le premier « − » est une soustraction (opération), le second − est le signe du nombre −3. Ces deux « moins » ont des rôles différents. Lire attentivement chaque expression avant de calculer.
Questions fréquentes sur les nombres relatifs en 5ème
C'est effectivement contre-intuitif. L'explication la plus simple : si perdre de l'argent est négatif (−), alors annuler une perte (= soustraire le négatif) est un gain (positif). Formellement, c'est une conséquence de la définition de l'opposé et des propriétés de la multiplication. À ce niveau, il suffit d'appliquer la règle ; la démonstration vient plus tard.
Oui, identiquement. La division par un nombre, c'est la multiplication par son inverse. Donc : (−12) ÷ (−3) = +4 (signes identiques → positif) ; (+15) ÷ (−5) = −3 (signes contraires → négatif). Vous pouvez utiliser exactement la même grille que pour la multiplication.
Règle rapide : (1) Tout nombre positif est plus grand que tout nombre négatif. (2) Entre deux positifs, le plus grand est le plus grand. (3) Entre deux négatifs, le plus grand est celui dont la valeur absolue (distance à zéro) est la plus petite. Exemple : −2 > −8 car 2 < 8.
La méthode la plus efficace est la création d'une fiche mémo avec les règles et au moins 2 exemples par règle. Révisez-la régulièrement en vous auto-testant. Pour les fiches mémo visuelles, notre guide sur les cartes mentales pour mémoriser les leçons donne des méthodes applicables aux cours de maths.
Les nombres relatifs sont la fondation de tout le calcul algébrique qui suit : calcul littéral (4ème), équations du premier degré, fonctions, coordonnées dans un repère… En terminale, la maîtrise des signes est encore indispensable pour les dérivées, les intégrales et les probabilités. Si vous avez du mal avec les nombres relatifs en 5ème, il est crucial de consolider cette base immédiatement.
Sources : Ministère de l'Éducation nationale — Programme de mathématiques cycle 4 (5ème-4ème-3ème) · Éduscol — Ressources pédagogiques mathématiques collège
À propos de Maximilien
Maximilien a exercé comme conseiller d'orientation-psychologue pendant plus de 10 ans. Expert des arcanes de Parcoursup, du choix des spécialités au lycée et de l'enseignement supérieur, il aide les adolescents à construire sereinement leur projet.
