Les suites numériques constituent l'un des chapitres fondateurs de la 1ère Spécialité Maths. Elles apparaissent dans de nombreux contextes concrets — placements financiers, croissance démographique, physique, économie — et préparent directement aux notions de limite et de calcul intégral en Terminale. Ce cours complet couvre les deux types de suites au programme : les suites arithmétiques et les suites géométriques.
Qu'est-ce qu'une suite numérique ?
Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels, indexée par les entiers naturels. On la note (un), où n est le rang (indice) et un est le terme de rang n.
Exemple : la suite des carrés des entiers naturels est définie par un = n² :
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| un = n² | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 |
Deux façons de définir une suite
- Par un terme général (forme explicite) : On donne directement une formule un = f(n), ce qui permet de calculer n'importe quel terme sans connaître les précédents. Exemple : un = 3n + 1.
- Par une relation de récurrence : On donne le ou les premiers termes et une formule qui exprime un+1 en fonction de un. Exemple : u0 = 2 et un+1 = un + 4.
Les suites arithmétiques
Définition
Une suite (un) est arithmétique s'il existe un réel r, appelé raison, tel que pour tout entier n :
un+1 = un + r
On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même valeur r.
Exemples concrets
| Contexte | Terme u0 | Raison r | Premiers termes |
|---|---|---|---|
| Économies mensuelles (+50 €/mois) | 100 € | +50 | 100, 150, 200, 250… |
| Températures descendantes (−2°C/h) | 20 °C | −2 | 20, 18, 16, 14… |
| Suite paire : un = 2n | 0 | +2 | 0, 2, 4, 6, 8… |
Comment démontrer qu'une suite est arithmétique ?
Il faut montrer que la différence un+1 − un est constante (indépendante de n) :
Exemple : La suite définie par un = 4n − 3 est-elle arithmétique ?
- Calculer un+1 − un = [4(n+1) − 3] − [4n − 3] = 4n + 4 − 3 − 4n + 3 = 4
- La différence est constante et égale à 4 → la suite est arithmétique de raison r = 4.
Formule du terme général
Pour tout entier n et p :
un = u0 + n·r (ou plus généralement : un = up + (n−p)·r)
Application : Suite arithmétique de premier terme u0 = 7 et de raison r = −3.
- u1 = 7 + 1×(−3) = 4
- u5 = 7 + 5×(−3) = 7 − 15 = −8
- u100 = 7 + 100×(−3) = −293 (calcul direct, sans récurrence)
Sens de variation
- r > 0 → suite strictement croissante
- r < 0 → suite strictement décroissante
- r = 0 → suite constante
Somme de termes consécutifs
La somme des termes de rang 0 à rang n (soit n+1 termes) est :
S = (n+1) × (u0 + un) / 2
Moyen mnémotechnique : nombre de termes × (premier terme + dernier terme) / 2.
Exemple : Calculer la somme 1 + 2 + 3 + ⋯ + 100.
C'est une suite arithmétique de raison 1, avec u1 = 1 et u100 = 100, comportant 100 termes.
S = 100 × (1 + 100) / 2 = 100 × 101 / 2 = 5 050
Les suites géométriques
Définition
Une suite (un) est géométrique s'il existe un réel q non nul, appelé raison, tel que pour tout entier n :
un+1 = un × q
On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même facteur q. Attention : le premier terme u0 doit être non nul.
Exemples concrets
| Contexte | u0 | Raison q | Premiers termes |
|---|---|---|---|
| Placement à 5% d'intérêts annuels | 1 000 € | 1,05 | 1 000 ; 1 050 ; 1 102,5 ; 1 157,6… |
| Population divisée par 2 chaque décennie | 8 000 | 0,5 | 8 000 ; 4 000 ; 2 000 ; 1 000… |
| Puissances de 3 : un = 3n | 1 | 3 | 1, 3, 9, 27, 81… |
Comment démontrer qu'une suite est géométrique ?
Il faut montrer que le quotient un+1 / un est constant et non nul (avec un ≠ 0 pour tout n) :
Exemple : La suite définie par un = 5 × 2n est-elle géométrique ?
- Calculer un+1 / un = [5 × 2n+1] / [5 × 2n] = 2n+1−n = 2
- Le quotient est constant et égal à 2 → suite géométrique de raison q = 2.
Formule du terme général
Pour tout entier n et p :
un = u0 × qn (ou plus généralement : un = up × q(n−p))
Application : Capital placé à 4% d'intérêts composés. u0 = 2 000 €, raison q = 1,04.
- u1 = 2 000 × 1,04 = 2 080 € (après 1 an)
- u10 = 2 000 × 1,0410 ≈ 2 000 × 1,4802 ≈ 2 960,49 € (après 10 ans)
- u20 = 2 000 × 1,0420 ≈ 2 000 × 2,1911 ≈ 4 382,25 € (après 20 ans)
Comportement selon la raison q
| Valeur de q | Comportement de la suite (u0 > 0) |
|---|---|
| q > 1 | Croissance exponentielle : la suite tend vers +∞ |
| 0 < q < 1 | Décroissance vers 0 : la suite tend vers 0 en restant positive |
| q = 1 | Suite constante : tous les termes valent u0 |
| −1 < q < 0 | Les termes alternent de signe et tendent vers 0 |
| q < −1 | Les termes alternent de signe et divergent vers ±∞ |
Somme de termes consécutifs
La somme des termes de rang 0 à rang n (soit n+1 termes) est, si q ≠ 1 :
S = u0 × (1 − qn+1) / (1 − q)
Si q = 1 (suite constante) : S = (n+1) × u0.
Application : Somme des 10 premiers termes de un = 3n (u0 = 1, q = 3).
S = 1 × (1 − 310) / (1 − 3) = (1 − 59 049) / (−2) = (−59 048) / (−2) = 29 524
Tableau comparatif : arithmétique vs géométrique
| Critère | Suite arithmétique | Suite géométrique |
|---|---|---|
| Passage au terme suivant | Ajouter r | Multiplier par q |
| Relation de récurrence | un+1 = un + r | un+1 = un × q |
| Terme général | un = u0 + n·r | un = u0 × qn |
| Démonstration | un+1 − un = constante | un+1 / un = constante ≠ 0 |
| Somme (rang 0 à n) | (n+1)(u0 + un) / 2 | u0(1 − qn+1) / (1 − q) |
| Représentation graphique | Points alignés (linéaire) | Croissance/décroissance exponentielle |
| Modélise | Accroissement constant (loyer, salaire fixe) | Taux de croissance constant (intérêts, population) |
Les suites arithmético-géométriques (niveau avancé 1ère)
Certains énoncés de 1ère définissent des suites de la forme un+1 = a·un + b avec a ≠ 0 et a ≠ 1. Ces suites ne sont ni arithmétiques ni géométriques, mais on peut les ramener à une suite géométrique.
Méthode :
- Trouver le point fixe L de la relation : résoudre L = a·L + b → L = b / (1 − a)
- Poser vn = un − L
- Montrer que vn est une suite géométrique de raison a : vn+1 = a·vn
- Déduire vn = v0 × an, puis un = vn + L
Point fixe : L = 2L + 3 → −L = 3 → L = −3.
vn = un − (−3) = un + 3, géométrique de raison 2.
v0 = u0 + 3 = 4, donc vn = 4 × 2n.
Conclusion : un = 4 × 2n − 3.
Les erreurs fréquentes aux examens
La raison est la différence constante (arithmétique) ou le facteur constant (géométrique). Le premier terme u0 est la valeur initiale. Ces deux éléments sont indépendants.
Erreur 2 — Mal compter le nombre de termes dans une somme.
De up à un, le nombre de termes est n − p + 1. Exemple : u1 + u2 + ⋯ + u10 contient 10 termes (10 − 1 + 1), pas 9.
Erreur 3 — Appliquer la formule de somme géométrique quand q = 1.
Si q = 1, la formule S = u0(1 − qn+1)/(1 − q) donne 0/0 — indéfini. Il faut utiliser S = (n+1) × u0.
Erreur 4 — Confondre terme général et récurrence pour démontrer.
Pour démontrer qu'une suite est arithmétique, on doit calculer un+1 − un à partir des expressions des termes — pas simplement vérifier sur les 2 ou 3 premiers termes.
Questions fréquentes sur les suites numériques en 1ère
Le terme général (ou forme explicite) donne un directement en fonction de n : un = 2n + 1. Cela permet de calculer n'importe quel terme sans connaître les précédents. La relation de récurrence donne un+1 en fonction de un : pour calculer u50, il faudrait théoriquement calculer tous les termes précédents. En pratique, on cherche souvent à passer de la récurrence au terme général.
Testez d'abord les différences consécutives (u1 − u0, u2 − u1…) : si elles sont toutes égales, c'est une suite arithmétique. Ensuite testez les quotients consécutifs (u1/u0, u2/u1…) : si ils sont tous égaux (et non nuls), c'est une suite géométrique. Si ni l'un ni l'autre n'est constant, la suite n'est ni arithmétique ni géométrique.
Avec un taux d'intérêt annuel de t%, le capital Cn+1 = Cn × (1 + t/100). C'est exactement la définition d'une suite géométrique de raison q = 1 + t/100. Contrairement aux intérêts simples (suite arithmétique), les intérêts composés appliquent le taux sur le capital déjà augmenté des intérêts précédents — d'où la croissance exponentielle.
C'est la somme des n premiers entiers naturels, suite arithmétique de raison 1 à partir de u1 = 1. La formule est S = n(n+1)/2. Exemple : 1 + 2 + ⋯ + 100 = 100 × 101 / 2 = 5 050. Cette somme célèbre est attribuée à Gauss, qui la calcula mentalement à l'âge de 10 ans.
Oui, énormément. En Terminale, les suites introduisent la notion de limite (une suite tend vers une valeur ou vers l'infini). En classes préparatoires et à l'université, les suites sont fondamentales pour définir les fonctions, les intégrales et toute l'analyse. Dans la vie courante, elles modélisent les placements financiers, la démographie, la radioactivité et les algorithmes de convergence.
Pour consolider vos révisions sur les suites et préparer le Bac de Maths, notre guide sur rédiger des fiches de révision efficaces est un complément utile. Pour approfondir les fonctions polynômes qui préparent les suites en Terminale, consultez notre cours sur les polynômes du second degré et le discriminant.
Sources : Ministère de l'Éducation nationale — Programme de mathématiques 1ère spécialité (réforme 2019) · Éduscol — Ressources pédagogiques mathématiques lycée
À propos de Louise
Louise est juriste spécialisée en droit de la famille et de l'éducation. Elle décrypte les réformes scolaires, explique les procédures d'affectation et défend les droits des élèves nécessitant une inclusion scolaire ou des aménagements spécifiques.
